「序」

　　先日、こんな本を見つけました。

　　『 おい点Ｐ、動くんじゃねえ！ | 晶文社』
　　
　この中の一文がきっかけで、以前からあたためていたことをまとめてみました。

　本書では、中学1年生のときに「正の数・負の数」のことを学び、2年生になり「一次関数」も習ったころの生徒さんを想定して授業を始めます。

　　本作は下記「note」でも無料でお読みいただけます。
　https://note.com/dragon_moonpath/n/n2ddc534aed4e

「第1時間目」

教師：みなさんは1年生の時に「正の数・負の数」と「その計算」について学びました。今日は「負の数」そのものからお話しますが、「負の数」については、小学生のころから聞いたことはあったでしょう。

　天気予報で「明日は氷点下５度近くまで下がりそうです」と発表されたときには、 水が凍る温度の「0℃」を【基準】として、それよりも寒暖計の目盛りが５個下回ることを言っていますね。

　また、ある商店の特定の商品が、毎日の平均で10個ずつ売れていたとして、今日、売れた個数が８個だった場合には、平均の個数を【基準】として、「今日の売り上げ個数と『基準になる平均』との差は、ー２個だった」といっても通じるでしょう。
このように、みなさんにとって「マイナス」の数は学習済みでしょうし、使えないと恥ずかしいですよね。
　フォッフォッフォッ.

生徒X君：センセイはバルタン星人だったんですか？（いやな予感がする）

教師：まあまあ、とりあえず問題です。

ある晩、私の家の裏口に２匹の野良猫がエサをねだりに来ていました。そして、朝になると猫の数は、なんと３倍になっていました。
さて、朝の猫の数は何匹になったでしょうか？
ちなみに、これは「いじわるクイズ」ではありません。裏口のドアを開けたら猫は驚いて逃げて行った、ということはありません。

生徒たち：（2匹）×（３倍）＝６匹、だから６匹です！

教師：みなさん！ご名答です。簡単すぎてごめんなさい。

教師：では、次の問題です。

ある晩、私の家の裏口に「マイナス2匹」の野良猫がエサをねだりに来ていました。そして、朝になると猫の数は、なんと「マイナス3倍」になっていました。さて、朝の猫の数は何匹になったでしょうか？

みなさんは「正の数・負の数の計算方法」も習っているはずですし、その計算の規則を守らないと、期末テストも高校受験もできませんからねぇ。フォッフォッフォッフォッ.

さあ、お答えください。

生徒：……？

教師：えっ？ いかがですか。 誰か答えてください。

A君：（ー2匹）×（ー3倍）＝6匹、ですけど？

教師：計算は合っていますよ。みなさんもそうなりましたか？

B君：センセイ、なんか、おかしいです。

C君：そもそもぉ～、「マイナス２匹の猫」っていうのが、ヤバくね。

教師：えっ、さっき【基準】を決めればマイナスの数も使えるというお話をしたでしょ。わたしは、いつもの猫の数を【基準】にして、その夜は「ー２匹」としたのですよ。フォッフォッフォッ.

Dさん：じゃあ「ー３倍」ということが、ありえないのではないですか。

教師：ええっ、そうなのぉ？ みなさんは、「負の数の掛け算」も習っていたでしょうに。フォッフォッフォッフォッ.

生徒：「？？？」



　　　　-----教室には、しばらく沈黙が続いた-----


教師：じゃあ、そろそろ、まともなお話をしましょうか。

みなさん、A君が発表してくれた式は
(ー2)×(ー3)＝｛（ー1）×（2）｝×｛（ー1）×（3）｝、と書けませんか。

この式は掛け算だけからできているので「交換法則」により、その順番を変えることができます。

2×｛（ー1）×（ー1）｝×（3）

問題は、真ん中の、(ー1)×(ー1）なのです。
わたしは、このことをベテランのM先生に聞いてきました。

では、黒板に注目してください。

　　　　　　ーーーーー「黒板」ーーーーー

「分配法則」を使います。

（ー1）×（ー1）+（ー1）×1＝（ー1）×｛（ー1）+（+1）｝＝0

よって、（ー1）×（ー1）+（ー1）×1＝0・・・・・①

次に、１×１＋(ー1)×1＝｛1+（ー1）｝×1＝0

よって、１×１＋(ー1)×1＝0・・・・・②

ここで①と②を比較すると、

(ー1)×(ー1)と、１×１とは、同じ値である。・・・・・（＊）

ネコの問題に戻ると、
（ー2匹）×（ー3倍）
＝（ー1）×2×（ー1）×3
＝2×｛（ー1）×（ー1）｝×3
＝2×｛（+1）×（+1）｝×3・・・・・（ここで＊を使った）
＝2×１×3
＝6・・・・「答」

　　　　　　ーーーーー板書終わりーーーーー


教師：以上ですが、計算だけは納得してもらえましたかね。

Ｃ君：そうか！これが（負の数）×（負の数）が（正の数）になるっていうガチの説明だったのですね。

教師：そうなのですよ。私にとっても、M先生のおかげです。
しかし、ここからが、大人たちも迷わせている大問題なのです。
（－２）×（－３）＝6とは、実際にはどのようなことが起こったと捉えたらよいでしょうか。

今日は、その例をあげることを、遊び心もある「ゆるい宿題」にします。
この「ゆるい」という意味は、数学的に厳密でなくてもいいですよと、いうことです。
猫以外の例も大歓迎です。

「第3時間目」

教師：きょうも、（負の数）×（負の数）は（正の数）となることを実感してもらいます。

A君：センセイ、昨日のことで悪いんだけど、「基準」って捨て切らなくてもいいような気もするんですよねぇ。

教師：いやはや、今日は突っ込まれる立場だね。
わたしは、「基準を作れば―2匹の猫がいてもいいんだ」と、みんなを迷わすために使ったんだけど、あらためて考え直しておきましょう。

理科の時間の「重力による落下の実験」を思い出してください。
小さな球を手から放して落としたとします。
そのとき、手の位置を「基準」にするのか、球が落ちた「床の位置」を基準にするのかでは、計測された数字は違うでしょう。
いま「基準」と言いましたが、その「特別な点」は、正しくは「原点」と呼び、『物体の運動を観測したり、記述したりする人』が決める点であり、力学などの記述式問題でも「原点と座標軸の設定」から解答が始まるのです。

一方、今回の「具体例」を考えるときに、あえて「基準」というならば、「猫が揃っているとき」におくか、「猫が6匹いなくなっているとき」におくかですが、実は、昨日、教科書出版社の数学担当の人に聞いてみたんですよ。

生徒：でっ、どうでした？

教師：う～～ん、基準なんて聞いたことがないって、

　　　　　　　　～～生徒たち大爆笑～～

X君：教科書会社は騙せなかったってことですね。

教師：しょうがないじゃない。「基準」なんて、今回の「仕掛け」だったんだから。

繰り返しますが、不思議な「ネコの問題」とは、「２匹の猫が３回続けていなくなった。合計何匹の猫がいなくなったでしょう」と言い換えれば、日常生活の中では何の支障もなかったのです。
そういうことでよいでしょうか。

（ここで、教師は生徒の納得した様子を確かめたうえで、黒板にｘ－ｙ平面を描いた）

さて、平面上で「ｘ軸とｙ軸が交わる点」を「原点」と言いますが、みなさんは、この「原点の記号」をなにげなく書いていませんか。
その点は「数字のゼロ：０」ではなくて
「アルファベットの大文字のオゥ：Ｏ」であり「originのＯ」なのです。

生徒：「へえ～、いいこと聞いた」

Jさん：でも先生、数直線上の原点だったら、30センチの定規みたいに「ゼロ：０」のほうが気持ちいいんですけど。

教師：あっ、私が言葉足らずでした。
x－y平面の原点という特別な『点』は「O：オゥ」で表しますが、
「座標」はゼロを２個使って（0，0）だということを忘れていました。
そして、Jさんの質問には、数直線上の原点という『点』は「O：オゥ」ですが、「座標」は（０）ですと、答えておきます。

教師も生徒さんとともに育つものですよ。

X君：センセイって、うまい言い訳するんだ。

教師：では、わたしは、ｙ＝ー2ｘのグラフを描きたいので、
「ｙ＝ー2ｘ」の「ｘ」にいくつかの値を代入してみましょう。
ｘ＝3のとき、ｙ＝-6
ｘ＝2のとき、ｙ＝-4
ｘ＝1のとき、ｙ＝-2
そして、
ｘ＝0のときには、ｙ＝0
これらの点を通るように、半直線が引けますね。

今のところグラフは、原点と第4象限にしかありません。
さあ、ｘの値が負になったとき、グラフはどうあって欲しいものでしょうかね。
Ｋ君：そりゃもう、そのまんま左上の方に、ビヤーと延ばすだけでしょ。
教師：そうだよね～。そう思うのは当然だし、間違っていないのですよ。
ただ、今度は、「ｙ＝ー2ｘ」の「ｘ」に負の値を代入することになるから、やはり「（ー2）×（負の数）」という問題に再会することになります。

さっきの代入の記録を、ここにもう一度書いてみます。

ｘ＝3のときには、ｙ＝-6
ｘ＝2のときには、ｙ＝-4
ｘ＝1のときには、ｙ＝-2
ｘ＝0のときには、ｙ＝0

ここで、ｙの値の変化を振り返ってみてください。
ｘの値が「1」ずつ減少するとき、ｙの値は「2」ずつ増加しています。
そして、この規則を守り続けると
ｘ＝-1のとき、ｙ＝0+2＝2
ｘ＝-2のとき、ｙ＝(0+2)+2＝4
ｘ＝-3のとき、ｙ＝(0+2+2)+2＝6

Lさん：あっ「-2という係数」と「負の値の変数ｘ」をかけると、
「ｙの値が正」になるってことですね。

教師：そうなのですよ。だからグラフでも「ｘの値が負のとき」、
ｙの値は正になり、第二象限で、左上に向かって「ビヤー」っと延長していくことになりますよね。

Ｍ君：ちょっと先生さあ。俺たちを煙に巻こうとしていない？

教師：ほお～、なんで？わたしが「宇宙忍者」だから？（笑）

M君：だって、いま、「足し算」しかしていないじゃないか。

教師：そうだよ。いけなかったかな。

M君：えっ？

Nさん：ああ、掛け算の基本ですね。M君さ、例えば「九九の2の段」だったら答えは「2，4，6，8，10・・・」と「2ずつ」増えていったでしょ。
先生は、答を「2ずつ」増やしていくことで掛け算をしたんですよ。

教師：Nさん、フォローありがとう。私の今の立場では「ー2」を「負の値ｘ」にかけることを回避したかったのですよ。

Ｍ君：センセイって、意外と基本に忠実な教師なんだ。

教師：いやいや、「（負の数）×（負の数）＝（正の数）」を、すでに知っていたような計算をしたら、元も子もないでしょう。

生徒たち：ほほぉ～。

以上で、（負の数）×（負の数）は（正の数）の授業を終わります。



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これで教室からの中継はおしまいです。

お読みいただきましてありがとうございました。
また、今回もお世話になったM先生には心より感謝いたします。

　
　　　　　　　　　　　　「了」

「後注」

　読者の皆さんの中には「複素数平面」を学んだ方がおられることでしょう。複素数平面では、i を掛けることは90度の回転に対応します。

　　「 i² ＝ −1 」ですから、i を2回掛けることは180度の回転、すなわち「反転」です。

　つまり、 ×（−1）＝「反転」、と見ることができます。

　では、反転をもう一度すると、（−1）×（−1）＝1 となります。

　「反転の反転は、元に戻る。」

　本編で生徒が発見した「−1を掛ける＝反転」という見方は、複素数平面にも現れているのです。

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