～～「序」～～

　先日、こんな本を見つけました。

　　おい点Ｐ、動くんじゃねえ！ | 晶文社
　　https://www.shobunsha.co.jp/?p=9167

　その本の中には「（負の数）×（負の数）＝（正の数）って、ポジティブすぎるやろ」という一節がありました。

　私は、この本がきっかけで、以前からあたためていたことを、このサイトでまとめてみました。

　本書では「正の数・負の数」の学習が終わった頃の生徒さんを想定して、授業を始めています。

～～「第1時間目」～～

教師：みなさんは、一学期に「正の数・負の数」と「その計算」について学びました。今日は、まず、「負の数」そのものからお話しますが、「負の数」については、小学生のころから聞いたことはあったでしょう。

例えば、天気予報で「明日は氷点下５度近くまで下がりそうです」と発表された時には、
氷が溶け始める温度である「0℃」を【基準】にして、それよりも寒暖計の目盛りが５個下回ることを言っていますね。

また、ある商店の特定の商品が、毎日の平均で10個ずつ売れていたとき、今日、売れた個数が８個だった場合には、平均の個数を【基準】にして、「今日の売り上げの平均からの差は、ー２個だった」といっても通じるでしょう。
このように、みなさんにとって、「マイナス」の数は学習済みでしょうし、使えないと恥ずかしいですよね。フォッフォッフォッフォッ.

生徒X君：センセイって、バルタン星人ですか？お年が分かりますよ。

教師：まあまあ、とりあえず問題です。

ある晩、私の家の裏口に２匹の野良猫がエサをねだりに来ていました。
そして、朝になると猫の数は、なんと３倍になっていました。
さて、朝の猫の数は何匹になったでしょうか？
ちなみに、これは「いじわるクイズ」ではありません。裏口のドアを開けたら猫は驚いて逃げて行った、ということはありません。

生徒たち：（2匹）×（３倍）＝（６匹）、だから６匹です！
教師：みなさん！ご名答でした。簡単すぎてごめんなさいね。

教師：では、次の問題です。

ある晩、私の家の裏口に「マイナス2匹」の野良猫がエサをねだりに来ていました。そして、朝になると猫の数は、なんと「マイナス3倍」になっていました。さて、朝の猫の数は何匹になったでしょうか？

みなさんは１学期に「正の数・負の数」とともに「その計算方法」も習っているはずですし、その計算の規則を守らないと、期末テストも高校受験もできませんからねぇ。フォッフォッフォッフォッ.

さあ、お答えください。

生徒：……？

教師：えっ？　 いかがですか。 誰か答えてください。

A君：（ー2匹）×（ー3倍）＝（+6匹）、ですけどぉ？

教師：計算は合っていますよ。みなさんもそうなりましたか？

B君：センセイ、なんか、おかしいです。

C君：そもそもぉ～、「マイナス２匹の猫」っていうのが、ヤバくね。

教師：えっ、さっき【基準】を決めればマイナスの数も使えるというお話をしたでしょ。わたしは、いつもの猫の数を【基準】にして、その夜は「ー２匹」としたのですよ。

Dさん：「ー３倍」が、ありえないのではないですか。

教師：ええっ、そうなのぉ？ みなさんは、「負の数の掛け算」も習っていたでしょうに。

生徒：「？？？」

　　-----教室には、しばらく沈黙が続いた-----

教師：じゃあ、そろそろ。まともなお話をしましょうか。

みなさん、A君が発表してくれた式は
(ー2)×(ー3)＝｛（ー1）×（2）｝×｛（ー1）×（3）｝、と書けませんか。

この式の中身は、掛け算ばかりなので「交換法則」により、その順番を変えることができます。

2×｛（ー1）×（ー1）｝×（3）

問題は、この真ん中の、(ー1)×(ー1）なのです。わたしも、長年の間、うまく説明できなかったので、ベテランのM先生に聞いてきたのです。

では、黒板に注目してください。


　　　＃＃＃＃＃＃「黒板」＃＃＃＃＃＃


分配法則を逆に使って、

（ー1）×（ー1）+（ー1）×1＝（ー1）×｛（ー1）+（+1）｝＝0

よって、（ー1）×（ー1）+（ー1）×1＝0・・・①

次に、１×１＋(ー1)×1＝｛1+（ー1）｝×1＝0

よって、１×１＋(ー1)×1＝0・・・②

ここで①と➁を比較すると、

(ー1)×(ー1)と、１×１とは、同値である。・・・（＊）となります。

ネコの問題の式に戻ると、
（ー2匹）×（ー3倍）
＝｛（ー1）×2｝×｛（ー1）×3｝
＝2×｛（ー1）×（ー1）｝×3
＝2×｛（+1）×（+1）｝×3……(ここで＊を使った）
＝2×１×3
＝+6・・・・「答」


　　　＃＃＃＃＃板書終わり＃＃＃＃＃


教師：以上ですが、計算だけは納得してもらえましたかね。

生徒：そうか！これが（負の数）×（負の数）が（正の数）になるっていうガチの説明だったのですね。

教師：そうなのですよ。私にとっても、M先生のおかげです。
しかし、さてさて、
「－２」×「－３」＝「＋6」とは、実際にはどのようなことが起こったと捉えたらよいでしょうか。

これを、今日の「ゆるい宿題」にします。
もちろん、猫以外の例も大歓迎します。

～～「第２時間目」～～

E君：先生、この例ならどうですか？
「2万円の借金」を負の数として、3回返したとします。
（－２万円）×（－３回）＝６万円・・・・・③

教師：ほほぉ～
生徒たち：それでいいんじゃね。
教師：実はＡＩも同じような答えを出していましたけどねぇ。
生徒：そういう言い方、止めて欲しいですけど。
教師：まあまあ「AIと生徒は使いよう」ってことだな。
生徒：相変わらず変なセンセイ。

教師：みなさん。「Eくんの説明と③式」だけでは、６万円を得したようにも思えませんか？
AIもその点で誤解を招きかねない回答を作ってきたのです。
宿題をやってきたE君には、もちろん、よい点をあげますけどね。

E君：あっ、そっか。「６万円」が湧いてきたみたいですね。

教師：そうなんだよ。ここからが「みんなの頭の使いよう」だね。

生徒：うう～～ん。

教師：今回の「ポイント」は、2個目の「マイナス記号」なのですよ。

生徒：マイナスはマイナスじゃね？

教師：実は、そういう簡単なことでもないのですよ。
では、③式をこう書きます。
（－２）×(ー1）×３・・・って、間違っていないでしょ。
左半分の、(ー2)×(ー1)、は、
２万円の「借金」を「返済する」。
つまり「負の値」と「元に戻す」というイメージを持てたとしたら、
すなわち「借金を返す」というイメージにつながりますね。
そして「返す行為」を「３回」行えば、その人の会計では借金をする前の状態に戻るというイメージを持てませんか。
これでEくん自身も納得できましたか。
Eくん：あっ、「元に戻る」かあ。

教師：この後も【元に戻す】をキーワードにして例をあげてくださいね。

F君：センセイ、いいっすか。
ビルの11階にいた人が、エレベーターでうっかり２階分、下の階におりてしまいました。
愚かなことに、それを3回もやっちまったら5階に来たそうです。
その人は、元の階に戻ろうとしました。
5階+｛（ー2階）×（ー1：逆転）×（3回分）｝＝11階、元の階に戻った。

生徒：おおぉ～。

教師：Fくん、よくぞ考えましたね。OK牧場！
これで、「マイナス記号」とは、単に「負の値を示す記号」ということだけではなくなったでしょう。

Gさん：センセ、私もいきます！
私の家の工場は、まあまあ順調なのですが、時には商品の「返品」もあるのです。
先月、2箱の荷物が3店舗から返品されました。
その式は、（ー2個）×（ー1：戻し）×（3店舗）＝6箱、
これは、（ー2）×（ー3）＝6、・・・6箱が元に戻ったっていうこと。

教師：そうそう。「マイナスの記号」って興味深いでしょ。

H君：猫の話ですが、「マイナス」って「元に戻った」と考えると、
たくさんの猫を保護しているセンセイの家から、二匹の猫が家出をしました。そんなことが3回もあったのですが、なんと、その都度、捕獲することに成功したのです。その式は
（ー2匹：家出）×（ー1：戻る）×（3回）＝6、元に戻った猫の数。

教師：さすがはH君、いいですねぇ。

教師：じゃあ、Hくんに乗って応用問題を出します。
今月のことです。我が家の猫が2匹ずつ3回、家出をしたのですが、
そのうち2回分の家出猫は、無事に捕獲できました。
さて、今の猫の数と先月の猫の数の差は、何匹でしょうか？

Jさん：(ー2)×{3+(ー1)×2}＝ー2、先月との差で～す。

教師：うん、Jさんの計算は正しいし最速の式ですが、
私はスローモーションのような式を作ってみます。
（ー2）×3＝－6匹・・・・・いなくなった猫が6匹ってこと。
（ー2）×（ー1）×2＝4・・・捕獲できた猫の数。
すると、二つの式から
（ー6）+4＝ー2・・・・・先月との差です。


みなさん、今日も頑張りましたね。
「（負の数）×（負の数）は、なぜ（正の数）になるのか」から始まって、「負の状態を反転させる」ことまで考えました。
ただ、現実の例を無理に考えることは、もうしなくてもよいかもしれませんよ。そんなこともありますから明日は違う観点から同じテーマを考えましょう。